El número 142857

El número 142857
Cuando nos referimos a productos curiosos, procuramos destacar las singularidades que presentan ciertos números con la disposición original de sus dígitos. El número 142857 es, en este género, uno de los más interesantes de la matemática y puede ser incluido entre los llamados "números cabalísticos".
Veamos las transformaciones curiosas que podemos efectuar con ese.
Multipliquémoslo por 2, el producto será:

142 857 x 2 = 285 714

Vemos que los dígitos del producto son los mismos del número dado, escritos, sin embargo, en otro orden.
Efectuemos el producto del número 142857 por 3.

142 857 x 3 = 428 571

Otra vez observamos la misma singularidad: los dígitos del producto son precisamente los mismos del número pero en un orden alterado.
Lo mismo ocurre multiplicando por cuatro, cinco y seis.

142 857 x 4 = 571 428
142 857 x 5 = 714 285
142 857 x 6 = 857 142

Una vez que llegamos al factor siete, vamos a notar otra particularidad. El número 142 857 multiplicado por siete da como producto

999 999

¡Número formado por seis nueves!
Experimenten multiplicar el número 142 857 por ocho. El producto será:

142 857 x 8 = 1 142 856

Todos los dígitos del número que aparecen ahora en el producto con excepción del 7. El 7 del número dado fue descompuesto en dos partes, seis y uno. El dígitos seis se ubicó a la derecha y un dígito uno fue a la izquierda para completar el producto.
Veamos ahora lo que acontece cuando multiplicamos el número 142 857 por nueve:

142 857 x 9 = 1 285 713

Observen con atención ese resultado el único dígito del multiplicando que no figura en el producto es el cuatro. ¿Qué habrá acontecido con ese cuatro? Aparece descompuesto en dos partes, uno y tres colocados en los extremos del producto.
Del mismo modo podríamos verificar las irregularidades que presenta número 142 857 cuando es multiplicado por 11, 12, 13, 15, 17, 18, etc.
Algunos autores llegan a afirmar que hay una especie de cohesión entre los dígitos del número 142 857, que no permiten que esos dígitos se separen.
Varios geómetras notables, Fourrey, E. Lucas, Rouse Bali, Guersey, Legendre y muchos otros, estudiaron minuciosamente las propiedades del número 142 857.
Fourrey, en su libro "Récréations Arithmétiques", presenta el producto del número 142 857 por 327 451. Al efectuar su operación, notamos una interesante disposición numérica: las columnas de dos productos parciales están formadas por dígitos iguales.
Retomemos el número 142 857 y determinemos el producto de ese número por los factores 4, 14, 21, 28, etc. múltiplos de 7. Estos son los resultados:

142 857 x 7 = 999 999
142 857 x 14 = 1 999 998
142 857 x 21 = 2 999 997
142 857 x 28 = 3 999 996

Los resultados presentan una disposición muy interesante. El primer producto es un número formado por seis dígitos iguales a 9; el segundo producto aparecen solo cinco dígitos iguales a 9, siendo el sexto "descompuesto" en dos partes que fueron a ocupar los extremos de los resultados. Y así sucesivamente.

¿Cómo aparece en aritmética ese número 142 857?
Si convertimos la fracción ordinaria 1/7 a su forma decimal, vamos a tener la cifra periódica simple cuyo período es precisamente 142 857.
Quien ya ha estudiado fracciones ordinarias y decimales podrá comprender fácilmente que las fracciones ordinarias 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 y 6/7, cuando se convierten en fracciones decimales tendrán también fracciones periódicas simples cuyos períodos están formados por los dígitos 1, 4, 2, 8, 5 y 7, que aparecerán en cierto orden, conforme al valor del numerador. Esta es la explicación de la famosa "cohesión" aritmética pretendida por algunos investigadores.
Para los antiguos matemáticos, el número 142 857 era "cabalístico", con propiedades "misteriosas"; estudiado, sin embargo, desde el punto de vista aritmético, no pasa de un período de una fracción periódica simple.
Lo mismo ocurre con los períodos en las fracciones decimales 1/17, 1/23, etc.
El número 142 857, que algunos algebristas denominan "número impertinente" no es, por tanto, el único en presentar particularidades en relación a la permanencia de algunos dígitos en diversos productos.

Referencias:

Tahan, Malba. “Matemática divertida y curiosa”.

¿Es el cero un número natural?

Esto que a continuación presentaré es solo un poquito de lo mucho que pueden encontrar en el libro de Elon Lages Lima titulado "Mi profesor de Matemática, y otras historias".
Les recomiendo que tengan y lean el libro, es interesante ^^
Aquí vamos entonces...

 

Así es que, profesores, mi sugerencia para con ustedes es que debemos ser honestos con nuestros alumnos y darles un poquito sino todo de esta explicación. No creo que lo mejor para ellos es que simplemente les digamos: "No, el cero no es un número natural y punto!" , como algunos profesores hacen pretendiendo que sus alumnos crean simplemente en su palabra. Por lo menos intentemos darles algunas ideas de que, así como dice el texto anterior, en algunos casos puede ser considerado como natural, como también hay algunos casos en los que es "mejor" que no lo consideremos de tal forma. De todas maneras seamos coherentes con la decisión que tomemos desde un inicio y con lo  que desarrollemos en clase. Asimismo, tratemos de estar preparados para satisfacer la curiosidad que muchos de nuestros alumnos tienen de querer saberlo todo sobre las Matemáticas, para que así, llegado el momento, sepamos explicarles; de lo contrario, también es bueno saber decir No lo sé, e informarnos mejor para luego aclarar esa duda "pendiente". ^^ 

Con muchas ideas ... pero ... pero ...

Es verdad, tengo muchas ideas para trabajar el proyecto de investigación que espero se convierta en mi tesis al terminar la maestría en la PUCP. Sin embargo, no estoy segura si alguna de ellas se llegará a concretar.
Y es que aunque yo me siento personalmente muy animada a desarrollar finalmente alguna de esas ideas, no tengo idea de dónde debo empezar! jeje
Se supone que dentro de dos semanas aproximadamente ya debo tener algo más claro, algo más específico, y dejaré de sentirme en este limbo en el cual me siento por el momento ¬¬
Por ahora, mis compañeros y yo, conocemos ya varias Teorías de la Didáctica de las Matemáticas. Incluso en este semestre hemos aprendido algunas Metodologías de la Investigación en Educación Matemática lo cual nos ayudará a tener una idea más clara de cómo abordar nuestro trabajo. Pero ... pero... (y aquí vienen los temidos PEROS).. cuál de esas teorías escoger? cuál de esas metodologías será la mejor para el trabajo que decidamos elegir al final? Según los trabajos que hemos visto en clase, cuánto tiempo nos tomará como máximo terminar ese trabajo?
Solamente espero que terminando este semestre hayamos, mis compañeros y yo, "pisado tierra" y nos dediquemos a ser felices con el tema elegido, con la teoría y metodología a usar para desarrollar esa investigación y sobre todo que resulte útil (al finalizar, este trabajo) para profesores en el futuro o en el presente :)
Yo he leído artículos muy interesantes este semestre. Y espero que mi tesis, llegue a ser una muy buena! que sea bien completa y muy útil! Tengo tantas expectativas, tantas ideas, y ahí nuevamente vuelven los PEROS... ^^
Con paciencia llegaré a determinar mi tema de investigación este semestre, y mucho mejor empezaré la misma! Estoy ansiosa! mucho! ^^

Muy pronto, con novedades... ^^

La mano de la princesa

La historia que en esta oportunidad compartiré con ustedes la he tomado del libro "Matemática... ¿estás ahí?" de Adrián Paenza. Es una historia muy interesante. Espero sea de su agrado ^^

La mano de la princesa
Cada vez que tengo que dar una charla de matemática para público no matemático, elijo una forma de empezar. Y es siempre la misma. Pido permiso, y leo un texto que escribió Pablo Amster, el excelente matemático, músico, experto en cábala y, además, una extraordinaria persona.
Esta historia la utilizó Pablo en un curso de matemática que dio para un grupo de estudiantes de Bellas Artes en la Capital Federal. Se trata de un texto maravilloso que quiero (con la anuencia de él) compartir con ustedes.
Aquí va. El título es: "La mano de la princesa".
Una conocida serie checa de dibujos animados cuenta, en sucesivos capítulos, la historia de una princesa cuya mano es disputada por un gran número de pretendientes.
Éstos deben convencerla; distintos episodios muestran los intentos de seducción que despliega cada uno de ellos, de los más variados e imaginativos.
Así, empleando diferentes recursos, algunos más sencillos y otros verdaderamente magníficos, uno tras otro pasan los pretendientes pero nadie logra conmover siquiera un poco, a la princesa.
Recuerdo por ejemplo a uno de ellos mostrando una lluvia de luces y estrellas; a otro, efectuando un majestuoso vuelo y llenando el espacio con sus movimientos. Nada. Al fin de cada capítulo aparece el rostro de la princesa, el cual nunca deja ver gesto alguno.
El episodio que cierra la serie nos proporciona el impensado final: en contraste con las maravillas ofrecidas por sus antecesores, el último de los pretendientes extrae con humildad de su capa un par de anteojos, que da a probar a la princesa; ésta se los pone, sonríe y le brinda su mano.

La historia, más allá de las posibles interpretaciones, es muy atractiva, y cada episodio por separado resalta de una gran belleza. Sin embargo, sólo la resolución final nos da la sensación que todo cierra adecuadamente.
En efecto; hay un interesante manejo de la tensión, que nos hace pensar en cierto punto, que nada conformará a la princesa. Con el paso de los episodios y por consiguiente, el agotamiento cada vez mayor de los artilugios de seducción, nos enojamos con esta princesa insaciable. ¿Qué cosa tan extraordinaria es la que está esperando? Hasta que, de pronto, aparece el dato que desconocíamos; la princesa no se emocionaba ante las maravillas ofrecidas, pues no podía verlas.
Así que ése era el problema. Claro. Si el cuento mencionara este hecho un poco antes, el final no nos sorprendería. Podríamos admirar igualmente la belleza de las imágenes, pero encontraríamos algo tontos a estos galanes y sus múltiples intentos de seducción, ya que nosotros sabríamos que la princesa es miope. No lo sabemos: nuestra idea es que la falla está en los pretendientes que ofrecen, al parecer, demasiado poco. Lo que hace el último, ya enterado del fracaso de los otros, es cambiar el enfoque del asunto. Mirar al problema de otra manera.
De no saber ya ustedes (Pablo se refiere aquí a los estudiantes de Bellas Artes que eran sus interlocutores) de qué trata este curso, quizás se sorprenderían ahora como se sorprendieron con el final de la historia anterior: vamos a hablar (o estamos hablando) de matemática.
En efecto, hablar de matemática no es solamente demostrar el teorema de Pitágoras: es, además, hablar del amor y contar historias de princesas. También en la matemática hay belleza. Como dijo el poeta Fernando Pessoa: "El binomio de Newton es tan hermoso como la Venus de Milo: lo que pasa es que muy poca gente se da cuenta".
Muy poca gente se da cuenta,.. Por eso el acento de la princesa: porque el problema, como adivina el último de los pretendientes, es que "Lo más interesante que hay en este país, no se lo ve" (Henri Michaux, "El país de la magia").
Muchas veces me sentí en el lugar de los primeros galanes. Así, siempre me esforcé por exponer las cuestiones matemáticas más bellas, pero la mayoría de las veces, debo reconocerlo, mis apasionados intentos no tuvieron la respuesta esperada.
Trato esta vez de acercarme al galán humilde del último capitulo. De la matemática, según Whitehead "la creación más original del ingenio humano", hay bastante para decir. Por eso este curso. Sólo que hoy prefiero también yo mirar las cosas de esa otra manera, y empezar contando un cuento...
Esta presentación de Pablo Amster apunta directamente al corazón de este libro, La idea es poder recorrer varias historias, pensar libremente, imaginar con osadía y, parar cuando uno llega a algo que lo entusiasma. Pero buscar esos puntos. No sólo esperar que lleguen. Estas líneas tienen ese propósito: entusiasmarles, conmoverles, enamorarles, sea con la matemática o con una historia que no conocían. Espero lograrlo.
Referencia:
Paenza, A. (2010). "Matemática... ¿estás ahí?". Sobre números, personajes, problemas y curiosidades.

Una semana dura

Si bien es cierto, me gusta lo que hago; es decir, dictar clases particulares y también las clases de la maestría en la PUCP, tengo que decir que esta fue una semana dura debido a que terminé súper cansada.
Ya sabemos que las elecciones para elegir a nuestro (a) próximo presidente (a) fue el fin de semana pasado. Así que para cumplir con mi deber y derecho cívico viajé a Trujillo, donde tengo que decir se come muy bien  ^^  ... Eso fue el día Viernes 8 de Abril por la noche y después de mi clase de Álgebra y Aplicaciones con el profesor Emilio G. Decidí regresar a Lima el día lunes por la noche por ese temor que tengo de viajar los fines de semana justamente en aquellos días que se espera que viaje más gente; sobre todo por la probabilidad de que suceda así un accidente ¬¬. Así que no viajé de regreso a Lima el domingo sino el lunes. Ya para esto había hablado con mi profesora del curso de Metodologías de la Investigación en Educación Matemática (MIEM), pues no estaría presente en su clase de todos los lunes por la tarde. No hubo , hasta ahí, mayor problema. En realidad, los "problemas" vinieron después desde el martes que llegué de Trujillo. Llegué muy cansada y esto a raíz de que no pude dormir durante el viaje a pesar de que me sentía más cómoda, que en la ida a Trujillo, en el bus que estaba viajando. La razón del por qué no pude dormir esa noche fue principalmente porque el chofer por momentos (muchos) frenaba de golpe el carro, y cuando abro la cortina del bus me doy con la sorpresa de que la neblina estaba muy densa. Entonces, me preocupé. Esa preocupación finalmente fue la que no permitió que pueda descansar. Así que llegué a Lima cansada. Tanto así que en la tarde tuve que cancelar las clases que debía dictar porque necesitaba dormir! Casi lo gritaba a los cuatro vientos! Necesito dormir por favor!!!! ^^
Aunque eso fue lo que hice esa tarde; es decir, hasta la hora que debía ir a la PUCP para mis otras clases (Análisis Curricular en Matemáticas: ACM) a las 7pm. Después de eso, mi cuerpo exigía ese descanso que no había tenido por culpa de esa noche de viaje ¬¬
Lamentablemente, el resto de esta semana que ya hoy termina prácticamente, no me pude dar más ese "lujo" de dormir una tarde más. Esta semana he tenido un trabajo (del curso ACM) que preparar y sustentar para el día Jueves; otro trabajo del curso MIEM, ´que debía presentarse como fecha última el día de hoy a las 10am y que consistía en leer un artículo en inglés sobre la metodología de investigación Design Experiments, contestar 3 preguntas planteadas sobre puntos específicos del artículo y además agregar un análisis crítico sobre un ejemplo planteado en ese mismo artículo; y, "last but not least", el día de hoy a las 7pm un examen del curso Álgebra y Aplicaciones.
No me estoy quejando, pero siento que este ciclo se ha puesto muy exigente: son muchos los trabajos a ser presentados, muchos artículos (papers) e incluso algunas tesis (o parte de ellas) sugeridas por la profesora del curso MIEM por ejemplo, así como exposiciones (una semanal) del curso ACM, y trabajo en clase para el que debemos ir preparados en Álgebra y A.
Creo que me está gustando este ritmo de estudio. Es decir, si solo me dedico a esto como ahora ^^
Hasta el momento me va bien en la maestría. No me puedo quejar en absoluto :)
Estoy contenta, estudiando, dictando mis clases particulares, yendo al gym a usar la máquinas Cardio (^^), viendo a mi sobrinito crecer ^^ y recibir reconocimientos también por parte de sus profesoras del nido (sobrino inteligente como su tía ^^ tía casi madrina), teniendo la oportunidad de contar con  algunas horas valiosas para poder compartir momentos con mis seres queridos , como hoy en la noche en el Starbucks o Tottus, cosas simples que me permiten sonreir, que me hacen estar cada vez más agradecida con la vida, con Dios ^^

... Gracias :)